Bolyai Farkas (17751856) és Bolyai János (18021860) régen elfoglalta méltó helyét a tudományban. Nemcsak mi, magyarok, de az egész világ megtanulta a Bolyaiak nevét. A tudománytörténet a halhatatlan tudósok sorába emelte őket, lezártnak, befejezettnek tekinti életművüket. A két tudós portréját a köztudatban az irodalom alakította ki, és magánéletükből az apa-fiú viszonyt az összeférhetetlenség, a diszharmónia irányába dramatizálta. Azt hittük, hogy a két magyar tudósról már minden lényegeset elmondtunk. A haláluk óta eltelt 140 év elegendő kellett volna legyen ahhoz, hogy minden valamirevaló rejtőzködő gondolatukat napvilágra hozzuk, megértsük és közreadjuk. Az újabban feltárt matematikai témájú levelekből és hagyatékuk sok ezer oldalas feljegyzéseiből előkerült adatok azonban a róluk alkotott eddigi emberi-tudósi portré átértékelését sürgetik. A tények fényében kötelességünk átgondolni tudománytörténeti rangsorolásukat, egymáshoz fűződő kapcsolatukat.
Az irodalom a tudomány és a szépirodalom egyaránt együtt emlegeti a Bolyaiak nevét. Ez érthető, hisz a vérségi köteléken túl a nehéz tudóssors is egymáshoz láncolta őket, meg a két évezredes probléma, amelynek megoldásán fáradoztak. "Ezt a két embert írja Németh László nemcsak példátlan heves apa-fiú viszony s az azonos és egymásra utaló foglalkozás kapcsolta össze, hanem egy és ugyanaz a probléma, az emberi agyban felmerültek közt tán a legmegdöbbentőbb, megoldásában a legcsodálatosabb."
A két Bolyai apa és fiú élete folyamán számos levelet váltott. Kezdve attól az időtől, amikor 1818-ban János beiratkozik a bécsi hadmérnöki akadémiára, életük alkonyáig szünet nélkül küldik egymásnak a hosszabb-rövedebb árkusokat. Eleinte a távolság, BécsMarosvásárhely, TemesvárMarosvásárhely, volt a levélváltások magától értetődő oka, később, idős korukban miután ismét egy városba kerültek főként a mindkettőjüket foglalkoztató tudományos gondolatok kicserélése s az egymásra utaltság sarkallta őket írásra. Az apa különben is szeretett levelet írni ("nem restellte [...] egymásután száz levelet írni, sőt beteg volt belé, ha a világot el nem áraszthatta" mondja némi túlzással János), természetes, hogy a levelek jelentős része fiának szólt.
Amint Benkő Samu1 is hangsúlyozza, a levélírás mifelénk, a Bolyaiak idejében sokkal fontosabb szerepet töltött be a tudományos munkálkodásban, mint manapság. De nemcsak nálunk volt ez így. Régebben a tudományos közlésnek és kapcsolatteremtésnek világszerte szinte kizárólagos eszköze a levél. Elég, ha például a matematika terén Fermat2 és Gauss3 kortársaikkal folytatott levelezésére utalunk. De a levélírásnak a magánéletben is nagyobb volt a szerepe, mint manapság, hiszen a nagy távolságokat úttalan utakon csak lovas fogattal vagy gyalogszerrel lehetett áthidalni.
Bolyai Farkas és Bolyai János levelezésének tekintélyes része ma már közismert. Számos Bolyai-levél Jakó Zsigmond4 és Benkő Samu5 gondozásában vált az olvasók számára könnyen hozzáférhetővé, és fontos szerephez jutott az 1952-ben új lendülettel megindult Bolyai-kutatásban: nélkülözhetetlen és hiteles források a Bolyaiak élete és munkássága több ismeretlen mozzanatának megvilágításában. A levelek közlésével Jakó Zsigmond és különösen Benkő Samu nagy szolgálatot tett azok számára, akik érdeklődésének homlokterében az utóbbi évtizedekben a két Bolyai állt. Hosszan sorolhatnánk a különböző tudományos munkákban vagy népszerűsítő írásokban ezekre a levelekre hivatkozók névsorát. Tanulmányozásuk új távlatokat nyitott a búvárkodóknak. A levelek hűen mutatják be a két tudós-matematikus mindennapi gondjait és az őket foglalkoztató tudományos és más természetű problémákat.
A napjainkig feltárt levelek csak elvétve tartalmaznak matematikai szövegrészeket. (A nevezetes temesvári levéllel itt nem foglalkozunk, azt már sokan elemezték.) A közreadók, mivel nem voltak járatosak a matematikai ismeretekben, és tartottak a szaknyelv buktatóitól, kerülték a matematikai természetű fejtegetéseket. Jogosan, hiszen a Bolyai-levelek kibetűzésekor nemcsak az íróik által használt sajátos elnevezések és jelölések megfejtésével, de a szövegekben rejlő matematikai tartalom megértésével is meg kell birkoznunk. A Bolyai János és Farkas által bevezetett olyan szavak, mint "okadat", "mértárs", "elegyes-" vagy "edi-nyi" először még a szakember számára is különösnek tűnnek. Az ilyen fogalmak nem érthetőek a szövegekben megbúvó belső összefüggések kihámozása nélkül. Jelentésüket aprólékos munkával, nemegyszer csak több kéziratlap összehasonlítása után bogozhatjuk ki.
A kéziratos hagyaték újbóli átvizsgálása során több olyan matematikai tartalmú levél is előkerült, amely a kutatók figyelmét nem keltette fel, vagy amelyeket a fenti okok miatt egyszerűen mellőztek. (Ha mégis vállalkoztak ilyen levelek közlésére, néha bántó elírások jelentek meg a szövegek matematikai képleteiben. Bolyai Farkas például az 1-es számjegyet következetesen i-nek írja. Ha ezt nem vesszük figyelembe, akkor már használhatatlanná válik a formula.6 Azok a matematikai levelek, amelyeket eddig méltatlanul elhanyagoltak (amiért természetesen a szakmabelieket okolhatjuk), jórészt figyelemre méltóan komoly hangú, tényközlő írások. Némelyiket kisebb értekezésnek is tekinthetjük, de szinte mindegyik tartalmaz apró tanácsokat, néhány személyes vonatkozású közlést is. "Szüvösen köszönve a herpesre nézti tudakozódást és holnaprai invitációt" kezdi levelét Bolyai János, de csakhamar rátér a tárgyra: "Az pedig, hogy ha p prím s a q nagyobb egynél..."7 Farkas először arról tudatja fiát, hogy "A templomban hosszú prédikátzió alatt hajadonfőn Grippét kaptam...", s csak azután kérdezi meg: "Láttad-e valahol: hogy ha p prímszám, s a-nak p nem factora?..."8 Egyik levelében, hosszú matematikai számítások végén, az idős Bolyai így kesereg: "Az aequinoctiummal [napéjegyenlőség K.E.) változásaim vannak s minden reggel egy darabig kell harcolnom, hogy a bút egy napra legyőzzem sem itt nem tudok maradni, sem elmenni csak a halál vághatja ketté a már oldatlan bogot. Ennyi minden bú feledés közt is egy szomorú jelentést kelle írnom B. Kemény Pálné kérésére..."9 Gyakran panaszkodik álmatlanságra. "Néhány éjszaka az ajtó elébe jött kutyák lármája miatt nem alhattam" írja egyik alkalommal, de levelének legfontosabb mondanivalója, hogy "A 4n+1 csak a Petersburgi Actacban van (Gausson kívül)..."10
Szóltunk arról, hogy Bolyai Farkas kedvelte a levélírást. Az ifjú János ritkábban ült asztal mellé ezzel a szándékkal, legalábbis kevesebb fiatalkori levelét ismerjük. Ha a matematikai tartalmú leveleket vesszük számba, mintha megfordulna ez az arány. Mindenesetre Jánosnak több matematikai kérdéssel foglalkozó levelét találtuk meg, mint apjáét. Sőt nemegyszer azt is megsejtettük, hogy Bolyai János több, idős korából származó levele elkallódott. Az előkerült leveleket olvasva ugyanis mindegyre olyan levelekre való hivatkozásokba ütközünk, amelyeket hiába keresünk. Még fájdalmasabban érint Bolyai Gergely (Bolyai János féltestvére) 1884-ből származó írása, amelyben beismeri, hogy Farkas és János sok matematikai tartalmú levelét megsemmisítette.
Feltűnő, hogy János az apjának küldött levelekben nem a más kéziratlapokon előszeretettel alkalmazott, maga által alkotott betűket használja. Úgy látszik, nem akarta terhelni apját, ezért leveleinek fogalmazásakor megelégszik az ábécé szokásos betűivel. Leveleinek nagy része gondosan megfogalmazott, szépen lemásolt szöveg. Azért előfordul néha, hogy "nyakra-főre sietve" csúnyán ír. Ezt ő is beismeri: "A küldött demonstratiom bár is rútul írva..."11 Máskor, ha túl sok a tennivalója, nem ér rá rendbe szedni gondolatait. "Ez egész demonstratiokat írja lehet s kell szép logikai renddel különböző osztály s alosztályokkal előadni: mire most nem érkezem." 12
Miről tanúskodnak az eddig fel nem tárt levelek? Találunk bennük értékes feljegyezni valót? Nos, ha ezeknek a leveleknek a mélyére hatolunk, több meglepetésben lesz részünk. Rádöbbenünk arra, hogy még mindig vannak fehér foltok a Bolyai-kutatás térképén. Még ma, 1998-ban is hiányosak az ismereteink az Appendix tudós szerzőjéről és apjáról.
Kéziratos hagyatékának más oldalait is számba véve rácsodálkozhatunk Bolyai János olyan, eddig nem ismert, vitathatatlan értékű kidolgozott vagy töredékes matematikai gondolataira, amelyek a marosvásárhelyi TelekiBolyai Könyvtár polcain vártak feltámadásra. Vallatóra fogva feljegyzéseit egy árnyaltabb, színesebb, teljesebb Bolyai-kép rajzolódik ki előttünk.
A leveleket forgatva elsősorban arról értesülünk, mennyire téves az a köztudatba mélyen begyökerezett vélemény, amely szerint Bolyai János ízig-vérig geométer, hogy mindig mély geometriai szemléletére támaszkodott, eredményei és eredeti gondolatai is mindig geometriai tartalmúak. Többé nem fogadhatjuk el azt az állítást, amely szerint Jánosnak a matematika más fejezeteiben végzett kutatásai nem vezettek sikerre. Levelei arról győznek meg, hogy ennek éppen az ellenkezője igaz. Bolyai János újabban felszínre került legtöbb levelében ugyanis nem geometriai, hanem számelméleti kérdésekkel találkozunk, és sokoldalúságát bizonyítják az algebra, valamint az analízis kérdéseit boncolgató írásai. Számelméleti felfedezéseivel sok esetben megelőzte későbbi korok matematikusainak munkáit. Ugyanakkor, mivel nem ismerte a már létező szakirodalmat, olyan feladatokat is sikerült megoldania, amelyeket előtte vagy vele egy időben dolgoztak ki és közöltek különböző folyóiratokban szerencsésebb körülmények között tevékenykedő kortársai.
A következőkben ezekből mutatunk be néhányat.
Számelméleti feladatok megoldására édesapja biztatta Jánost. (Erről már Paul St-ckel13 is beszámol, csakhogy ő valósággal lebeszél Bolyai ilyen természetű vizsgálatainak kutatásáról, amikor fontos monográfiájában megjegyzi: "Bolyainak a tárgyra vonatkozó följegyzéseivel nem érdemes behatóbban foglalkoznunk."14 Farkas 1855. május 2-án keltezett levelében azt kérdezi fiától: "Láttad-e valahol: hogy, ha p prímszám s a-nak p nem factora, úgy az kép alá jön (m számot téve). Csak annyit izenj, hogy láttad-e, vagy nem? de ne hagyd semmi dolgod félbe."15 Az édesapa az ún. kis Fermat-tétellel16 kapcsolatosan érdeklődik fiától. János az üzenet helyett rövidesen egy érdekes levélben válaszol apjának: "A tegnapelőtt igért =re nézve írja ugyan ezelőtti vizsgáimat hirtelen nem kaphatván elé, vagyis inkább akarván újból gondolkozni rajta, még tegnap tisztába jöttem mire nézve itt rövidségért, bővebb tárgyalást mellőzve a fő dolog iránti kétely és nyugtalanság eloszlatására elég már a következőket közölni [...], hogy éppen [...]2340-1 oszlik 341-gyel, pedig 341=11.31 [...]"17
Levelében Bolyai János azt mutatta meg, hogy a kis-Fermat-tétel megfordítása nem érvényes, s így ez a tétel nem szolgáltat egy olyan képletet, amely jellemezné a prímszámokat. Ő ugyanis sokat vesződött ezekkel a számokkal. "Az egész számtan, sőt az egész tan mezején sóhajt fel alig van szebb és érdekesebb [...] mint a prímszámok oly mély homályban rejlő titka."18 Hosszú időn át kereste a prímszámok képletét. Kísérletei nem vezet(het)tek eredményre (ma sem ismerünk ilyen képletet), de ezek során egy fontos felfedezést tett. Nevezetesen rábukkant a legkisebb álprímszámra, a 341-re. (Az olyan összetett számokat, amelyek teljesítik a kis Fermat-tételt, álprímeknek nevezzük.) Ezek a különleges számok több matematikus figyelmét lekötötték. Kutatásuk azonban csak a 20. században teljesedett ki, és napjainkban is tart. Bolyai egyik kezdeményezője lehetett volna ennek a kutatásnak, ha észrevétele nem süllyed el kéziratainak sokaságában.
Miképpen találta meg Bolyai János a 341-es számot? Levelében csak azt jelzi, hogy több próbálkozás után lelt rá, "de még sem vaktában, hanem elmélet"19 segítségével. Miután "elméletét" egy német nyelven írt régebbi kéziratlapról20 megértjük, hamarosan rájövünk arra, hogy ez egy olyan számelméleti tétel, amelyet J.H. Jeans21 neves angol matematikus-fizikus-csillagász Bolyai halála után 40 évvel közölt nyomtatásban. Emiatt az először Bolyai által megfogalmazott tulajdonságot Jeans-tétel néven ismeri a matematikus világ. A tételt minden kétséget kizáróan Bolyai János írta le valamikor az 1840-es években, ha nem még korábban. Számításai mint oly sok más munkája az Appendixen kívül csak kéziratban maradtak fenn. A tudományok története több olyan tudóst tart számon, akiknek felfedezései életük folyamán nem váltak ismertté, azokat csak kézirataik őrizték meg, s hagyatékuk későbbi átvizsgálása hozta felszínre. Nincs ez másképpen a matematikai tudományokban sem. Ilyen esetben az elmélet vagy tétel természetesen annak a nevét viseli, aki elsőként tette közzé. Ez lett a sorsa ennek a szép Bolyai-tételnek is.
Bolyai Farkas egy másik, 1854. április 15-e után kelt levelében saját bizonyítását mutatja be Jánosnak. Munkájáért fiától ellenszolgáltatást kíván. "Cserébe a 4n+1 alakú prímek legegyszerűbb demonstratiojat várom"22 jegyzi fel levelének első oldalán, kérve ezzel Fermat karácsonyi tételének23 bizonyítását. A szóban forgó tételt először Fermat fogalmazta meg, és egy, 1640. december 25-én kelt levelében tudatta barátjával. Innen a "karácsonyi tétel" elnevezés. Fermat tételét L. Euler24 bizonyította jóval később, 1754-ben. Euler dolgozatát Bolyai Farkas a Teleki Tékában ahol "...kedvesen lehet elálmodni az alig kiállható kedvetlen életet..."25 olvasta. (Ma is megtalálható a Tékában. Egy, 1754-ből származó, Szenpéterváron nyomtatott vaskos folyóirat 55 oldalát foglalja el.) Minden bizonnyal hosszúnak és bonyolultnak találta Euler fejtegetéseit, s ezért szólította fel fiát, hogy kísérelje meg a tétel egyszerűbb igazolását. János megfogadta apja tanácsát, s egy levélben, mindössze két oldalon mindjárt négyféle bizonyítást is bemutatott.26 Gondolatmenetében a leginkább szembetűnő az a módszer, amelyet alkalmaz. Ő ugyanis a komplex egészek27 oszthatóságának elméletét veszi igénybe, és ezért sikerült egyszerűsítenie és lerövidítenie a bizonyításokat.
Természetesnek tarthatjuk, hogy azokban az években Bolyai a komplex egészeket alkalmazta, hisz ekkorra ezt az elméletet Gauss már kidolgozta és publikálta is. Erről viszont Bolyai nem tudott, úgyhogy munkájában a komplex számokra vonatkozó saját elméletét használta fel, amelyet Gausstól függetlenül és vele egy időben szintén felfedezett. A kijelentés valószínűleg meglepi a matematika történetében járatos olvasót. Ha tüzetesen átolvassuk a matematikai tárgyú leveleket, átvizsgáljuk a hagyaték sok oldalát, feloldjuk a Bolyai-jeleket, és egyberakjuk a különböző kézirat-mozaikkockákat, egy egységes elmélet bontakozik ki előttünk. Meggyőződünk arról, hogy a komplex számok aritmetikája is a Bolyai-mű szerves része. Megjegyezzük, hogy a Responsio című ismert munkájában Bolyai János a komplex számok más tulajdonságait vizsgálta. Itt csak egyik rövid vallomását említjük, amely félreérthetetlenül megvilágítja az elmondottakat: "Kezdettől fogva éreztem annak szükségét, hogy az imaginárius számokat a számelméletbe is fel kell venni, vagyis ezekre is ki kell terjeszteni, s az óhajtott siker érdekében már régóta némely fontos vizsgálatot alkalmaztam."28
Apa és fiú levelezésének bizonysága szerint a számelméleti feladatok Bolyai Farkast is foglalkoztatták. Nem csupán kérdésekkel ostromolta fiát, hanem ő maga is több akkoriban újdonságnak számító tételt bizonyított be. Eredményeiről János is elismerően nyilatkozott: "Az oly szép és fontos Wilson-tétel29 fordítottját apám és én bebizonyítottuk."30 Egy másik alkalommal ezt írja apjáról: "A Wilson-tan fordítottjának is szigorú, bár is nem rövid okát [bizonyítását K.E.] adta."31
Eddig úgy tudtuk, hogy a magyar matematika a múlt század utolsó negyedéig nem tud felmutatni említésre méltó számelméleti eredményeket.32 Ha számba vesszük Bolyai Farkas és Bolyai János írásait, akkor a magyarországi számelméleti kutatások kezdetét mintegy fél évszázaddal előbbre kell helyeznünk. Ezek Magyarországon valójában a két Bolyai tevékenységével kezdődtek meg. Munkájuk eredménye azonban eddig nem vált közkinccsé. Még a jóbaráthoz, Gausshoz sem jutott el. Felfedezéseikről kettejükön kívül senki más nem tudott, immár 140 éve. Amint láttuk, János olyan új gondolatokkal gazdagította a számelméletet, amelyekre más matematikusok csak utána, évtizedek múlva gondoltak. De mivel ezek nem váltak ismertté, nem is lehettek hatással a tudomány fejlődésére. Ha alkalma lett volna ezeket publikálni különöző folyóiratokban vagy könyvekben, bizonyára jótékony befolyást gyakoroltak volna mind a magyar, mind a nemzetközi számelméleti kutatásokra.
A levelekből azt is megtudjuk, hogy a számelmélet más érdekes feladatai mellett Bolyai Jánost egy, a legkiválóbb matematikusokat évszázadokon át izgalomban tartó algebrai feladat is foglalkoztatta. Ez az algebrai egyenletek megoldhatóságának kérdése volt (vagyis az algebrai egyenletek gyökképlet segítségével történő megoldása). Az első- és másodfokú egyenletek középiskolában is tanított megoldási módszerét lényegében már a régi babiloniak is ismerték. A harmad- és negyedfokúak megoldása gyökképlettel csak a 16. században sikerült olasz matematikusoknak. Ezután nem létezett egyetlen jelentős szakmabeli sem, aki ne próbálta volna algebrailag megoldani az ötöd-, hatod- és magasabb fokú egyenleteket. Ezek az erőfeszítések azonban sorra kudarcot vallottak. Az évszázadok előrehaladtával mind több és több matematikus fejét megjárta, hogy talán nem is létezik megoldóképlet az ötöd- és magasabb fokú egyenletekhez. Határozott formában ezt először Ruffini33 jelentette ki 1799-ben, és kísérletet tett a bizonyításra is. Munkája azonban hiányos volt. Negyedszázad múlva, 1826-ban aztán Abelnek34 sikerült hibátlan gondolatmenettel bebizonyítania azt a tételt, amely szerint a négynél magasabb fokú algebrai egyenletek algebrai úton általában nem oldhatók meg.
Amint leveleiből és kézirataiból kiviláglik, Bolyai János is nagy szenvedéllyel vizsgálta az egyenletek megoldhatóságának kérdését. 1837-ben "domáldi remetesége" idején kezd foglalkozni a témával. "Már még 1837-ben írja egy később keletkezett jegyzetben fordítottam különös figyelmemet e tárgyra, keményen neki állottam, vetettem magam ezen erős, sőt megvíhatatlan vár ostromának..."35 Tehát amikor ezeket a sorokat papírra veti, a matematikusok már ismerik a RuffiniAbel-tételt. János egész életében nem értesült Abel 1826-os dolgozatáról, érdekes viszont, hogy Ruffini hibás bizonyítását egy Bécsben 1827-ben kiadott algebratankönyv közvetítésével megismeri. Az okoskodásban rejlő hibát, azt "nyomról-nyomra követve" hamar észreveszi. "...miben mindjárt első látásra sejtettem a hibát"36 írja, amihez később még hozzáteszi: "A Ruffini oka [bizonyítása K.E.], bizonyja a [...] lehetlenségről erőtlen vagy rossz, vagy csak képzelt."37 Jó algebrai érzékről tanúskodó meglátása egy ideig félrevezeti Bolyait. Ha hibás a Ruffini-tétel gondolja , akkor megoldhatók az ötödfokú, sőt a magasabb fokú egyenletek is, és sokáig bizonytalan úton járva, másokhoz hasonlóan ő is kísérletet tesz erre. Megkezdte egy dolgozat megfogalmazását a következő címmel: "A Föld eddigi legnagyobb tiszteletű s legcolossalisabb nyiászai [matematikusai K.E.] által lehetetlennek tartott [...] sőt képzeltképpen némelyek által lehetetlennek is bizonygatott minden rendű és rangú, bármely megadott algebrai egyenletnek algebrai föloldása módja vagy útja."38 Később ráébred próbálkozásai hiábavalóságára, kijavítja a Ruffini munkájában lévő hibát, s kijelenti, hogy a négynél magasabb fokú egyenletek algebrailag nem oldhatók meg. Fia, Bolyai Dénes 1851-ből való írásgyakorlatára odavetett sorok már világosan mutatják, hogy a problémát teljes egészében tisztázta: "Az 5 s fölsőbb rangú egyenlet általános föloldása lehetlenségét két módon tudom megbizonyítani..."39 A feldolgozatlan kéziratokon állandóan felbukkanó feljegyzéseiből megbizonyosodhatunk tehát, hogy Bolyai János is sokat töprengett e fontos feladat megoldásán, azt azonban nem tudta, hogy előtte már mások is próbálkoztak ezzel.
A két Bolyai levelezésében még számos más matematikai problémát érint, amelyekre most nem térünk ki. Az érdeklődő olvasó ezeket különböző szakfolyóiratokban közölt tanulmányainkban40 megtalálhatja. A továbbiakban a levelek segítségével a Bolyai-irodalomban jelenlévő néhány téves vélemény kiigazításához szeretnék még hozzájárulni.
A leveleket e hiteles forrásokat olvasva újból érezzük, hogy módosításra szorul a Bolyai-írásokban oly sokszor emlegetett "apafiú viszály"-ról kialakult kép, amely sajnos több szépirodalmi "mű" hatására is elmélyült a köztudatban. Meglehet, hogy amint Bolyai János is őszintén megvallja: "...némely tárgyban ezelőtt mindketten szerfölött sokképpen lévén elfoglalva, elég értekezhetés hiánya miatt nem egészen egyeztünk meg"41, de ez korántsem magyarázza a szülőgyermek viszonyról elterjedt oly sok elmarasztaló írást. A leveleket nem a gyűlölet, hanem az egymás iránt érzett ragaszkodás, aggódás, tisztelet szövi át. Nem megalapozott az a hiedelem, amely szerint, miután ismét egy városban éltek, kerülték volna a találkozást, s csak levelek útján érintkeztek egymással. A mindeddig nem ismert levelekből éppen azt olvashatjuk ki, hogy sokszor felkeresték egymást. Idézzünk csak néhány mondatot: "...holnap délután oda is ügyökszöm"42, vagy "...addig is míg magam oda mennék..."43 írja János. Azt a levelét, amelyben tudatja apjával, hogy 211-1 = 23.89, a következő mondatfoszlánnyal fejezi be: "...és éppen innen említém a Kali44 ottlétekor, hogy Wolfius hibásan állítja".45
Látogatásaik sűrűbbek is lehettek volna, de néha ez valamilyen akadályba ütközött. Milyen szépen menti ki magát János egyik alkalommal: "Nagyon köszönöm a meglátogatni kívánást. De csak úgy, hogy legkisebb alkalmatlansággal se történjék, kivált ezen mostoha, vad, zordon, savanyú, kellemetlen s egészségtelen időben, bármint kivánnám is különben találkozni..."46 "Meglátogatnálak, de nem merek akkora úthoz fogni"47 panaszkodik az idős Farkas. Bolyai Jánosnak egész életében csak egyetlen olyan tudóstársa volt, akivel megoszthatta gondolatait: édesapja. Már ez is elég nyomós ok arra, hogy szüntelenül keressék egymást. Környezetükben tudományos felvilágosításért senki máshoz nem fordulhattak. A levelek nem helyettesíthették és nem is helyettesítették az állandó élő párbeszédet. Sok levél találkozásaik s beszélgetésük után született. Milyen szerencse, hogy tudományos gondolataikat, elért eredményeiket levelekben rögzítették. Ha János nem levélben válaszol apja kérdéseire, akkor ma igencsak szegényebbek volnánk az őket foglalkoztató matetmatikai problémákat illetően. Vekerdi László látja jól: "A Bolyaiak apa és fiú nem holmi provinciális nyomorba süllyedt, kínjukban egymást tépő szerencsétlenek: alakjuk és sorsuk gyönyörű levelekkel dokumentált harmóniájukban az európai gondolkozás fő áramába tartozik, szervesen és kitéphetetlenül."48
Nem érthetünk egyet Bolyai János életrajzírói közül azokkal sem, akik szerint János alkotóképessége már korán kimerült, vagy hogy idősebb korában lanyhult volna érdeklődése a matematikai kérdések iránt. Levelei és más írásai beszédes cáfolatai ezeknek a véleményeknek. Bolyai János utolsó éveiben is tiszta fejjel gondolkozott matematikai problémákon. Számelmélettel kapcsolatos jegyzetei főképpen az 1850-es évek derekán készültek, amikor már elég idős volt.
Bolyai János életében amint már említettük csak egyetlen műve, az Appendix jelent meg nyomtatásban. Apjának küldött több levelében kifejezi azt a kívánságát, hogy munkáit szeretné kiadni. De amint erre többször kitér, addig kell várnia, amíg tökéletesre tudja "fényesíteni" azokat. 1844-ben, Domáldon keletkezett egyik levelében így ír: "Én elhatározám magamban, hogy elöljáróúl s némi elő-ízletül bocsássak előre haladék nélkül mihelyt Kolozsvárról visszakerülök magyarul is (gondolom a Magyar Tudós Társasághoz küldendőül), németül is (mint Gaussnak küldendőt) egy kis terjedelmű munkát [...] némi jeléül annak, hogy korántsem aludtam el életemet [...]. Csak az a fatalis körülmény szúr, fúr most is, mi tanaim kiadásától eddig is mind el-tartott, hogy a tan még TÖKÉLYES rendben, idomban nincs, vagyis még kijelelése is nem tökélyes. Bármily tökélyesen tudja is az ember mind értésre, mind kijelelésre nézve, de ha az olvasót is meg nem barátkoztatta még a helyes nyelvvel, oly mind mikor egy darázsfészekbe nyúl az ember."49 Elméje minden kicsiszolt termékét a köznek szánja, de beismeri, hogy milyen sok gyötrődéssel jár gondolatainak formába öntése. Saját magával szemben támasztott túlzott igényessége miatt hosszú ideig nem fogalmazta meg tudományos gondolatait, s ezért késett a nyilvánosság elé tárni azokat. "Azonban fogadkozik újból apjának közelít azon határidő, mikor már elérve a kitűzött célt, a meglévő anyagot kezdem kireszelve, simítva, fényesítve (mi utóbbi azonban nem a szemnek, csak a tanban jó) egyszóval kimüvölve, tökélyesítve tisztára és kitelhető jól és kellemesen olvashatólag írni."50
Bolyai János, bármennyire elszigetelten dolgozott is, tudott arról, hogy akkoriban más országokban már léteztek színvonalas matematikai folyóiratok. Leveleiben említi, de egyéb kéziratlapokon is fel-felbukkan a Crelle51 által szerkesztett Journal der Mathematik und Physik és a Grunert52 által alapított Archiv der Mathematik und Physik neve. Tervezte, hogy írásaival felkeresi ezt a két lapot. Sajnos erre nem került sor. "Reménylem bizakodik már idősen csak némi egészségre tehessek szert, nyitok én kaput magamnak egyéb nagyobb- és lényegesebbekkel..."53
Érdemes felfigyelnünk Bolyai Farkas egyik, 1844 körül írt levelére, amelyben kiadási terveiről tájékoztatja Jánost, és közreműködésre szólítja fel: "...hátha magad költségén, az enyimnek végére az imagináriumok theoriáját [...] oda tennéd?"54 Ezt a kérdést Farkas azért intézte fiához, mert János a komplex számokra célozva azt írta egyik előző levelében, hogy "tökélyes és teljes tanomat is nemsokára szándékozom közre-bocsátani".55 Nem ismerjük János válaszát a kihívásra, de ha megfogadja apja tanácsát, az Appendix mellett még életében megjelenhetett volna nyomtatásban második munkája is. Igaz, ez is csupán egy "függelék" lett volna.
Bolyai János kéziratos hagyatékát lapozva számos esetben tapasztaljuk, hogy igen hasznos az eredeti források alapján ellenőrizni más szerzők állításait. Íme, egy példa. Bolyai Farkas egyik kései levelében, 1855-ben így panaszkodik: "Azóta mind olyan rosszúl és fonákul vagyok, hogy írásodat nem ítélhetvén meg kérdésedre visszaküldöm. A -nek conversaja jónak látszó demonstratiojat se merem állítani, úgy elvesztettem magamra nézve is hitelemet amidőn egy más igen szép gondolatomat is félszegnek találtam."56 A második mondat végét Bedőházi János57 nyomán Alexits György is idézi, de hibásan. Szerinte a mondat utolsó szavai: "...igen szép gondolatomat is félszegnek találtad".58 A "találtam" szónak a "találtad"-dal való felcserélése a mondat értelmét teljesen megváltoztatja, s így a belőle leszűrhető következtetéseket is. Sajnos Alexits ebből a félreértett félmondatból kiindulva János apjával szemben tanúsított tapintatlanságára, fölényeskedésére tesz elmarasztaló megjegyzéseket, s ezzel tovább rontja a már eléggé megtépázott apa-fiú viszonyról kialakult képet. Intő példa lehet ez minden szerzőnek. Kerülje a másod- és harmadlagos forrásokat, mert ha kutatása tárgyáról megbízható, pontos képet akar rajzolni, csak az elsődlegesekből érdemes meríteni.
JEGYZETEK
1. Bolyai-levelek (Benkő Samu gondozásában). Kriterion Könyvkiadó. Buk., 1975. 5. (A továbbiakban B-lev.)
2. Pierre de Fermat (16011665), francia jogász és amatőr matematikus.
3. Carl Friedrich Gauss (17771855), német matematikus, Bolyai Farkas barátja.
4. Bolyai János élete és műve (Tanulmánykötet). Állami Tudományos Könyvkiadó. Buk., 1953. 374421. (A továbbiakban B.J. élete és műve.)
5. Bolyai Farkas tíz levele (Közli Benkő Samu). Igaz Szó. 1975. 3. sz. 262273; B-lev.; Bolyai János vallomásai. Kriterion Könyvkiadó. Buk., 1972.
6. B.J. élete és műve. 413.
7. Bolyai János kéziratos hagyatéka. Teleki-Bolyai Könyvtár, Marosvásárhely, 746/1. (A továbbiakban B-hagy.)
8. B-hagy. 1358/1.
9. B-hagy. 1117/2.
10. B-hagy. 1521/1,1v.
11. B-hagy. 1014/1.
12. B-hagy. 495/2.
13. Paul St-ckel (18621919), német matematikus, az első Bolyai-monográfia szerzője.
14. Paul St-ckel: Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai. I. Bp., 1914. 175.
15. B-hagy. 1358/1.
16. Ha p egy prímszám, a egy olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor ap-1-1 különbség osztható p-vel. Például 212-1=4095 osztható 13-mal.
17. B-hagy. 1018/1.
18. B-hagy. 1199/3v.
19. B-hagy. 1018/1.
20. B-hagy. 1265/3.
21. James Hopwood Jeans (18771946).
22. B-hagy. 1117/1.
23. Minden 4m+1 alakú prímszám két egész szám négyzetének összegeként írható. Például 13 (=4.3+1) = 22 + 32.24. Leonhard Euler (17071783), német matematikus, aki sok évet dolgozott Szentpéterváron.
25. B.J. élete és műve. 402.
26. B-hagy. 1333/1, 1v.
27. Az a+bi (i = ) alakú komplex számot akkor nevezzük komplex egésznek, ha a és b egész számok. Ebben a számkörben is kiépíthető, akár az egész számok sokaságában, az oszthatóság elmélete, vagyis beszélhetünk két komplex egész legnagyobb közös osztójáról, a prímekről és más fogalmakról.
28. B-hagy. 982/8v.
29. Ha p egy prímszám, akkor (p-1)!+1 osztható p-vel.
30. B-hagy. 1193/16v.
31. B-hagy. 895/9v.
32. Szénássy Barna: A magyarországi matematika története. Akadémiai Kiadó. Bp., 1970. 244 és 296.
33. Paolo Ruffini (17651822), olasz matematikus.
34. Niels Abel (18021829), norvég matematikus.
35. B-hagy. 143/3.
36. B-hagy. 1297/6.
37. B-hagy. 143/2v.
38. B-hagy. 1297/1.
39. B-hagy. 1293/1v.
40. Kiss Elemér: Mathematica Pannonica. LeobenPécsTrieste. 1995. 237242 és 1997. 293295; Természet Világa. Bp., 1994. 9. 405408 és 1996. 8. 344348; Polygon. Szeged, 1996. 2. 111 és 1998. 1. 111; Matematikai Lapok. Kolozsvár, 1995. 9. 321324; Octogon. Brassó. 1998. 1. 38.
41. B-hagy. 646/1.
42. B-hagy. 746/1.
43. B-hagy. 734/1.
44. Visti Kali Simon testvérével, Józseffel a marosvásárhelyi református kollégium nyomdájának legnevesebb mesterei. Ők voltak a Bolyai-könyvek készítői.
45. B-hagy. 1041/1v.
46. B.J. élete és műve. 415.
47. B-lev. 219.
48. Vekerdi László: A Bolyai-kutatás változásai. Természet Világa. 1981. 2. 5658.
49. B-hagy. 445/1, 1v.
50. B-hagy. 800/1v.
51. A.L. Crelle (17801855) 1826-ban indította és szerkesztette hosszú ideig a Journal der Math. und Physik című folyóiratot.
52. J.A.Grunert (17971872) 1841-ben indította és szerkesztette az Archiv der Matematik und Physik című folyóiratot. Ebben a folyóiratban jelenik meg először külföldön a két Bolyai neve, 1868-ban.
53. B-hagy. 742/3.
54. B.J. élete és műve. 394.
55. B-hagy. 445/4v.
56. B-hagy. 1521/1v.
57. Bedőházi János, a marosvásárhelyi református kollégium tanára. A két Bolyai élete és munkássága című munka (Marosvásárhely, 1897) szerzője.
58. Alexits György: Bolyai János világa. Akadémiai Kiadó. Bp., 1977. 88.