Fizikai Szemle 2007/3. 73.o.
A KVANTUM-SZÍNDINAMIKA SZEREPE NAGYENERGIÁJÚ
RÉSZECSKEÜTKÖZÉSEK ÉRTELMEZÉSÉBEN
Trócsányi Zoltán
Debreceni Egyetem és MTA Atommagkutató Intézete
Az éleslátás alapja a jó felbontás
.
Minden ember késztetést érez, hogy ismereteket szerezzen
a közvetlenül nem észlelt világról, például a
természetben előforduló, de szabad szemmel nem
látható mintázatokról. Ennek hagyományos eszköze a
fénymikroszkóp, amelynek azonban természetes korlátai
vannak, és hagyományos fajtáival mikrométernél
kisebb méreteket nem lehet feloldani.
A kvantummechanika hőskorának eredménye az a
felismerés, hogy a részecskék hullámtermészetet is
mutatnak, és minél nagyobb a részecskék energiája,
annál rövidebb a hullámhossza. Így elegendően nagy
energiára gyorsított részecskékkel a látható fény hullámhosszánál
kisebb méretű tárgyak szerkezetét is fel
lehet deríteni. Ezen alapszik az elektronmikroszkóp
működése, amellyel például a szemünk retinájának
nagy felbontású képét is megtekinthetjük. Az elektronok
gyorsításának csak a technika szab határt, és a
múlt század utolsó harmadának elején már az a merész
célkitűzés fogalmazódott meg, hogy nagyenergiájú
elektronokkal bombázott protonok szerkezetét a
szóródó elektronok szórási képének elemzésével kellene
felderíteni. Az ötlet megvalósítóinak Nobel-díjat
hozó "SLAC-MIT" kísérletből tudjuk, hogy a protonnak
szerkezete van, az elektron a protonban található
és jelenleg pontszerűnek ismert alkotórészeken (kvarkokon
és gluonokon, összefoglaló néven partonokon)
szóródik. Az ilyen mélyen rugalmatlan elektron-
proton szórás kicsit felületesen a legnagyobb felbontású
mikroszkópnak tekinthető.
Valójában a SLAC-MIT kísérletben nem közvetlenül
az elektron, hanem az általa kibocsátott nagy
energiájú foton került a partonokkal közvetlen kölcsönhatásba.
Már ez is mutatta, hogy a mikroszkóp
felbontásának a részecskeenergia növelésével való
fokozása szintén természetes korlátba ütközik, ugyanis
elegendően nagy energia kis térrészre való sűrítésével
új részecskéket lehet előállítani Einstein híres
felismerése, a tömeg és az energia egyenértékűsége
következtében. Az ilyen folyamatok végállapotainak
értelmezése teljesen újszerű megközelítést igényel. A
részecskék kölcsönhatásait leíró matematikai modell
segítségével a lehetséges végállapotok valószínűségeit
tudjuk megjósolni és összevetni a tapasztalattal,
ezáltal megerősítve vagy kizárva a modellt. A részecske-
kölcsönhatások ma ismert legpontosabb modellje,
a Standard Modell, háromféle kölcsönhatást, a
gyenge, az elektromágneses és az erős kölcsönhatást
írja le. Ez a sorrend egyben a kölcsönhatások erősségének
a sorrendje is: a mai kísérleteket jellemző
energiákon a harmadik mintegy 15-ször erősebb a
másik kettőnél. Ennek megfelelően a részecskék ütközésekor
az erős kölcsönhatás által vezérelt folyamatok
egy nagyságrenddel gyakoribbak, mint az
elektrogyenge folyamatok, és így a kísérletek értelmezésének
legfontosabb része az erős kölcsönhatás
minél pontosabb leírása.
A Standard Modell anyagi részecskéi a három fermion
részecskecsalád tagjai. Egy család két kvarkból
és két leptonból (valamint ezek antirészecskéiből) áll.
Például a legkönnyebb családba tartozik a protont és
neutront felépítő u és d kvark (p = uud, n = udd), az
elektron és neutrínója. A másik két család felépítése
hasonló, csak az egyes tagok tömege sokkal nagyobb.
A fermionok között bozonok közvetítik a kölcsönhatást:
a gyengét a nagy tömegű töltött és semleges
gyenge bozonok, az elektromágnesest a semleges foton,
az erőset az elektromosan szintén semleges, de
színtöltéssel rendelkező nyolc gluon.
![1. ábra](trocs07031.jpg)
A korszerű részecskegyorsítók építésének elsősorban
az a célja, hogy minél nagyobb energiára gyorsítsuk
a részecskéket, és azok ütköztetésével a lehető
legnagyobb energiasűrűséget érjük el kis térfogatban,
hogy új, a természetben jelenleg nem található részecskéket
állítsunk elő és tanulmányozzuk tulajdonságaikat.
Az ilyen kísérletek legszebb példái a múlt
század utolsó évtizedében működtetett LEP-gyorsító
kísérletei. A LEP-gyorsítón elektron-pozitron ütközéseket
végeztek eleinte 91,2 GeV tömegközépponti
energián, majd nagyobb energiákon,
elérve a 209 GeV-et is. A 91,2 GeV arról
nevezetes, hogy ez az álló Z0 részecske
energiája. Mintegy 17 millió Z0 előállítása
révén nagy pontossággal sikerült igazolni a
Standard Modell elméleti jóslatait. Például
az elektron-pozitron szétsugárzás teljes
hatáskeresztmetszetének elméleti jóslata
meggyőzően egyezik a különböző kísérletekben
mért értékekkel (1. ábra).
![2. ábra](trocs07032.jpg)
A kísérletek egyik központi kérdésköre
volt az erős kölcsönhatás elméleti modelljének,
a kvantum-színdinamikának (QCD) a
kísérleti ellenőrzése. A QCD nem-ábeli,
SU(N), mértékelmélet. (Emlékeztetőül: az
elektrodinamika ábeli, U(1), mértékelmélet.)
Az ilyen elméletek egyik érdekes jóslata,
hogy a részecskék közötti kölcsönhatás
erősségét szabályozó csatolási paraméter
nem állandó. A QCD csatolása annál kisebb,
minél nagyobb az ütközésben résztvevő részecskék
energiája. Ennek az aszimptotikus
szabadságnak nevezett jelenségnek 1973-ban
történt felismeréséért kapta Gross, Wilczek
és Politzer a 2004. évi fizikai Nobel-díjat.
Azért éppen 2004-ben, mert a jelenség
kísérleti igazolására akkorra gyűlt össze elegendően
meggyőző kísérleti tapasztalat (2. ábra).
Az aszimptotikus szabadságlehetővé teszi, hogy
perturbatív leírásmódot használjunk, amelyben a kölcsönhatást
a csatolás szerinti sorfejtés segítségével
vesszük figyelembe. A perturbációszámítás része az
egyetemi bevezető kvantummechanika tananyagnak,
és aki azt jól megtanulta úgy gondolhatja, hogy ez
egy jól megértett, "lezárt" témakör. Nos a QCD esetében
ez távolról sincs így. Hogy miért nem, a nagyenergiájú
elektron-pozitron ütközések példáján mutatom
be.
![3. ábra](trocs07033.jpg)
A Z0 részecske tömegének megfelelő tömegközépponti
energián működő LEP-en az elektron és
pozitron ütközése során nagy valószínűséggel Z0 keletkezik.
Hamar elbomlik, fermionpár keletkezik belőle,
az esetek 60%-ában kvark-antikvark pár. A
kvarkok egymáshoz nagyon közel, nagy energiával
keletkeznek, és így aszimptotikusan szabadon mozognak
- használható a folyamat leírására a perturbatív
QCD. Igaz ugyan, hogy az egymástól távolodó
kvarkok között egyre nagyobb "szín"-erő hat, és az
így felhalmozódó térenergia ahhoz vezet, hogy új
részecskék keletkeznek, az észlelő-berendezésekben
már nem az eredeti két kvarkot látjuk, hanem
részecskék záporát (hadronzáport). A folyamat azonban
emlékét őrzi a kezdeti két kvark által szállított
lendületnek és perturbációszámítással meglehet jósolni
a két hadronzáport tartalmazó események valószínűségét.
Találtak három hadronzáport tartalmazó
eseményeket is, amelyeket úgy lehet értelmezni,
hogy a kezdeti két kvarkkal együtt egy gluon is keletkezett
(3. ábra ).
![4. ábra](trocs07034.jpg)
A QCD-ben a perturbatív leírás első bonyodalma
éppen a csatolás változása. Ha a végállapotokat nem
osztályozzuk a hadronzáporok száma szerint, csupán
leszámoljuk a hadronikus végállapotokat, akkor a
teljes hadronikus hatáskeresztmetszetet mérhetjük
meg. A perturbációszámítással kiszámított teljes hatáskeresztmetszet
tükrözi a csatolás változását, a jóslat
függ attól, mekkora energián vesszük a csatolást. Igen
ám, csakhogy ez az energia nem mérhető, ezért a
jóslatunk nem használható jóslat. A nemfizikai paramétertől
való függést nevezzük renormálási skálafüggésnek.
Szerencsére a perturbációszámítás egy másik
tulajdonsága segítségünkre siet. Belátható, hogy a
perturbációszámítás egyes rendjeiben a µ renormálási
skálától való függés eggyel mindig magasabb rendű,
mint a számítás adott rendje. Például, ha az R fizikai
mennyiséget a perturbáció nagyságát jellemző
s csatolás
m-edik rendjében számítjuk ki, akkor a skálafüggés
nagyságrendje m+1-ed rendű:
![képlet](kepl_trocs07031.gif)
Így minél tovább megyünk a perturbációs sor
kiszámításában, annál kisebb a skálafüggés (4. ábra). A
QCD-ben tehát elengedhetetlen a sugárzási korrekciók
figyelembevétele, ha mennyiségileg értelmes
jóslatot akarunk tenni.
A második bonyodalommal a sugárzási korrekciók
számításakor találkozunk. A Lagrange-sűrűségből
meghatározott szabályok szerint ki lehet számítani a
mátrixelemeket, a hatáskeresztmetszet pedig a mátrixelemek
négyzetével arányos. Born-közelítésben a
teljesen differenciális hatáskeresztmetszetnek a fázistér
feletti integrálja véges. A mátrixelem négyzetéhez
kétfajta elsőrendű korrekciót találunk. Az egyik esetben
egy valódi részecske jelenik meg a végállapotban,
a másikban egy virtuális részecskefluktuáció
történik (hurokkorrekció). Mindkét járulék önmagában
végtelen, azonban az összegük véges, ha infravörös
véges fizikai mennyiség hatáskeresztmetszetét
jósoljuk. Az infravörös végesség minőségileg azt jelenti,
hogy egy feloldatlan, nem megfigyelhető részecske
megjelenése a végállapotban nem változtatja
meg a mennyiségértékét. Például a hadronzáporok
száma attól nem változik, ha az egyik végállapoti részecske
egy párhuzamosan tovarepülő részecskepárra
bomlik, vagy keletkezik egy lágy (nagyon kicsi energiájú)
részecske. Így, ha meghatározott számú hadronzápor
keletkezésének hatáskeresztmetszetét számítjuk,
akkor a valós és virtuális korrekció összege
véges. A véges eredményt azonban nem könnyű megkapni,
ugyanis a kétféle járulékot más fázistér felett
kell integrálni, ezért az összegzés az integrandus
szintjén nem lehetséges.
Ma már az irodalomban léteznek általános eljárások
arra, hogyan lehet folyamattól és fizikai mennyiségtől
függetlenül a számításokat úgy szervezni, hogy a véges
korrekciót megkapjuk, és ismerjük számos alapvető
folyamat esetén a QCD sugárzási korrekciót. Ezek
egyik szép példája az elektron-pozitron hadronokba
történő szétsugárzásában négy hadronzápor keletkezése,
amely a QCD LEP-en történő pontos ellenőrzésének
lehetőségét nyújtja. A négy hadronzáporos végállapotok
ugyanis számszerűleg a csatolás nagyságától, geometriai
szerkezetüket tekintve pedig a QCD színtöltéseitől
is függenek. A színtöltések a mértékcsoportot
meghatározó algebra kvadratikus Casimir-operátorának
értékei az alap és adjungált ábrázolásban. (A perdület
operátoralgebrája SU(2), amelynek kvadratikus Casimirja
a perdület négyzete, J2. Ennek sajátértéke
C(2) = j(j+1).
Alapábrázolásban j = 1/2, ezért
= 3/4,
adjungált ábrázolásban
= 2. A megfelelő
értékek QCD-ben (SU(3))
= 4/3,
= 3.)
Így a hadronzáporok
gyakorisága és térbeli elhelyezkedésének mennyiségi
jellemzése alapján a csatolás és a színtöltések
egyszerre mérhetőek. Ilyen méréseket a LEP együttműködéseiben
többször is végeztek. Az eredmények
összefoglalását találjuk a 5. ábrán. A mérések nagyon
pontosan megerősítik a QCD-értékeket.
![5. ábra](trocs07035.jpg)
A LEP kísérleti eredményeit a Standard Modellel
nagy pontossággal lehet leírni. Mégsem mondhatjuk,
hogy sikerült a LEP-en a Standard Modellt egyértelműen
igazolni. A Standard Modell ugyanis olyan lokális
mértékelméletre alapul, amelyet a Lagrange-sűrűségben
szereplő, a terek négyzetével arányos tömegtagok
sértenének, ezért azok a kiindulási elméletben
nem szerepelnek (például a QCD Lagrange-sűrűségében
sem). Ugyanakkor tapasztalatból tudjuk, hogy a
részecskéknek van tömegük, amiről az elméletnek
számot kell adni. A Standard Modellben ez a Higgs-mechanizmus
eredménye, aminek lényege, hogy az
elemi részecskék egy egyelőre csak feltételezett skalártérrel,
a Higgs-térrel való kölcsönhatás eredményeként
nyerik tömegüket. (Az összetett részecskék, mint
például az anyagot felépítő proton és neutron, tömegének
túlnyomó részéért a QCD felelős - egyelőre
nem tudjuk milyen módon.) Ha a Higgs-tér létezik,
akkor elő lehet állítani elemi gerjesztését, a nulla
spinű Higgs-részecskét, ha elegendő energiasűrűséget
sikerül előállítani a laboratóriumban. A LEP kísérletei
Higgs-részecskét nem találtak (bár "gyanús" eseményekre
akadtak).
![6. ábra](trocs07036.jpg)
A jelenleg épülő LHC-gyorsító elsődleges célja a
Higgs-részecske laboratóriumi előállítása. Protonok
fognak ütközni 14 TeV tömegközépponti energián.
Ahogy említettem a protonok összetett részecskék,
nagyenergiájú ütközéseik során az elemi kölcsönhatás
a bennük található kvarkok és gluonok között játszódik
le. Ahhoz, hogy ezeket az eseményeket egyáltalán
értelmezni lehessen szintén a QCD-re van szükség. A
QCD-ben a nagyenergiájú részecskeütközések leírásának
leglényegesebb eszköze a faktorizációs tétel (6. ábra).
Eszerint a protonban található partonok közül
egy vesz részt az elemi kölcsönhatásban, amelynek
hatáskeresztmetszetét a perturbatív QCD szabályai
szerint számolhatjuk. A parton a proton (négyes)lendületének
egy bizonyos hányadát viszi az ütközésbe,
amelyet a partonsűrűség-függvény ad meg. A partonsűrűség-
függvény perturbatív módon ugyan nem számolható,
azonban folyamattól független, ezért egy
folyamatban megmérve más folyamatban már használható
a fizikai hatáskeresztmetszet kiszámításához.
Az egyes szórási kísérletek persze különböző energián
történhetnek, ezért szükség van az fi partonsűrűség-
függvény energiafüggésének ismeretére is, ami
azonban perturbatív módon ismét csak megadható fi
és a Pij Altarelli-Parisi-függvények konvolúciójaként,
![képlet](kepl_trocs07032.gif)
(Az Altarelli-Parisi-függvények írják le az elemi
partonbomlás valószínűségét.) A partonsűrűség-függvény
pontos mérése megköveteli, hogy a méréshez
használt szórási folyamat elemi hatáskeresztmetszetét
pontosan ismerjük, amihez elengedhetetlen a sugárzási
korrekciók ismerete az adott folyamathoz.
A 7. ábra szerint a LEP-kísérlet eredményeinek
kiértékelése azt mutatja, hogy a Higgs-részecske tömege
nagy valószínűséggel 100-200 GeV/c2 közé
esik (amennyiben létezik). Az LHC-n történő ütközésekben
ekkora energiájú részecskét könnyedén elő
lehet majd állítani. Az észleléshez azonban nem elegendő
az előállítás. A Higgs-részecske ugyanis rövid
élettartamú, előszeretettel nehéz részecskékbe bomlik,
adott részecskével való kölcsönhatásának erőssége
ugyanis a részecske tömegével arányos (8. ábra).
A keletkező egyéb, Standard Modellbeli nehéz
részecskék szintén tovább bomlanak elsősorban az
erős kölcsönhatás révén, így a végállapotok többsége
ugyanúgy sok hadront tartalmaz, mint egy egyszerű
QCD-esemény, amelyben nem keletkezett Higgs-részecske,
tehát e jel nem válik ki a háttérből. A LEP
által legvalószínűbbnek tartott Higgs-tömeg esetén
érdekes módon a két fotonba való bomlás vezet olyan
végállapothoz, ahol a jel/háttér hányados a legkedvezőbb
a felfedezéshez.
![7. ábra](trocs07037.jpg)
A kétfoton spektrumban a Higgs-rezonancia jól látható
(9. ábra), felfedezése nem okoz elvi gondot, "csupán"
kemény kísérleti munkát igényel. Azonban egyáltalán
nem bizonyos, hogy a felfedezett rezonancia a
Standard Modell Higgs-részecskéjét jelzi. A standard
Higgs esetében a QCD-korrekciók jelentősen befolyásolják
a csúcs magasságára vonatkozó elméleti jóslatot.
A Higgs-jel kétfotonos csatornája esetén például az első
sugárzási korrekció kétszeresére növeli a vezető rendben
számolt hozamot, míg az arra következő (második)
korrekció további 15%-os növekedést jelent. Ugyanígy
az elképzelések a Standard Modellen túli fizikáról, például
a szuperszimmetrikus részecskék létezése, nagyban
befolyásolhatja a csúcs magasságát. Egy csúcs észlelése
tehát önmagában kevés, szükséges a lehetséges
elméleti értelmezéseket olyan pontosan megadni, hogy
a mért jellemzők alapján ki lehessen választani azt a
modellt, amely összeegyeztethető a méréssel.
![8. ábra](trocs07038.jpg)
A felfedezés első öröme után pedig rögtön jön az új
részecske tulajdonságainak meghatározása. Ezek a
kísérleti analízisek akkor sikeresek, ha pontosak. A
mérések pontos kiértékelése akkor lehetséges, ha
minél pontosabban ismerjük
- a keltési hatáskeresztmetszetet és a bomlási arányokat,
- az erős csatolás értékét,
- a partonsűrűség-függvényeket,
- az ütköző partonok luminozitását.
![9. ábra](trocs07039.jpg)
Mindezek a jelenlegi ismereteinknél pontosabb elméleti
leírást igényelnek, bizonyos folyamatok esetén
nagy szükség lenne a második sugárzási korrekciók ismeretére.
Az elmúlt évtizedben jelentős erőfeszítések
árán fontos eredmények jelentek meg az irodalomban
egy olyan általános eljárás kidolgozása végett, amellyel
folyamattól és fizikai mennyiségtől függetlenül a véges
másodrendű korrekciót megkapjuk, azonban még további
nehéz feladatok várnak megoldásra.
A QCD csodálatos elmélet. Hitünk szerint a fél oldalon
leírható Lagrange-függvénye minden lehetséges ismeretet
tartalmaz az elemi részek erős kölcsönhatásának
fizikájáról. Eddigi tapasztalatunk ezt a hitet megerősíti.
A tömör Lagrange-függvény rendkívül gazdag szerkezettel
rendelkező elméletet takar. Már több mint 30
éve kutatók százai foglalkoznak az elméletből kibontható,
a kísérletekkel összevethető jóslatok kikutatásával,
aminek egyik legfontosabb eszköze a perturbatív térelmélet.
Leginkább a szobrászathoz tudnánk e tevékenységet
hasonlítani. Ahogy egy szép darab márványban a
szobrász meglátja a belőle kifaragható, szemet gyönyörködtető
szobrot, úgy próbáljuk a QCD Lagrange-függvényében
rejlő gyönyörű matematikai összefüggéseket
kibontani. A cél azonban nem elsősorban szép képletek
gyártása, a "faragás" sikerét nem csupán az esztétikum
dönti el. A sugárzási korrekciók számszerű meghatározása
az elemi részecskék szórási folyamataiban a kísérletekkel
való egyre pontosabb összehasonlítás, tehát az
éleslátás elengedhetetlen eszköze.