KOMA pályázati projekt keretében a problémamegoldás tanításának-tanulásának alapvető elméleti kérdéseit igyekszem elemezni, bemutatni az utóbbi évek neurobiológiai, kognitív pszichológiai, matematikadidaktikai kutatási eredményei alapján. Fő célom a feladatok osztályozása az oktatásban betöltött funkciójuk szerint. Reményeim szerint ennek segítségével a tanárok elegendő támaszt kapnak ahhoz, hogy a sok ezer feladat kínálatából tudatosan válasszanak az oktatási folyamat különböző fázisainak megfelelő feladatokat. Elsősorban elméleti megalapozásra és konkrét feladatok kiválasztására, bemutatására vállalkozom minden feladattípussal kapcsolatban. Tudatosan szeretném a konkrét, vizuális reprezentációk használatának fontosságát alátámasztani a különböző megoldások összehasonlításával. Egy második fázisban a konkrét kipróbálást is nagyon fontosnak tartom. Kiemelt feladatnak tekintem, hogy a kidolgozott anyag eljusson a tanárokhoz, remélhetőleg könyv formájában.
A tanulók többsége „csökkentett üzemmódban dolgozik”, ami azt jelenti, hogy lemásolják mások megoldását a tábláról. Elit iskola tanára a koszinusztétel bizonyításáról: Nincs időnk arra, hogy konkrét számításos feladatokkal készítsük elő a bizonyítást. A vektoros bizonyítás rövid, tömör, elegáns, azt kell venni. A matematikát egyféleképpen kell tanítani! A matematika alkalmazásáról: Kezembe került egy az 1800-as évek végén megjelent iskolai matematika-tankönyv, amelyben olyan feladatok vannak, hogy kimentem a piacra, vettem 3 kg almát, kilóját 45 forintért (...) Úgy látszik, hogy most vissza akarunk menni 100 évet a matematikatanításunkban. Tankönyvíró, tapasztalt tanár a tanári segédkönyvről, az elméleti megalapozásról: Öszszeállítottam a feladatokat, meg is oldottam azokat, de ne várjatok tőlem egyetlen mondatot is a feladatok módszertani elemzésével kapcsolatban. Én a módszertanhoz nem értek! Egyetemi gyakorlóiskolai vezetőtanár reagálása arra, hogy az exponenciális, logaritmikus függvények tanításánál exponenciális növekedéssel kapcsolatos alkalmazási feladatokat is vizsgálni kell, amit a 2005-ös érettségi reform is megkíván: Mondhatnak bármit fönn, a tanár azt csinál az osztályban, amit jónak tart. Nem érnek el ide a fentről jövő dolgok. A heurisztika tanításának szükségességéről: „Osszunk fel egy négyzetet 2002 négyzetre hézagmentesen és átfedések nélkül!” Ha a feladatot ilyen formában adjuk fel a tanulóknak, nagyon kevesen tudnak bármit is kezdeni vele. (Egyetemi tapasztalat is!) Ha viszont a következő formában tűzzük ki: „Ossz fel egy négyzetet annyi négyzetre, amennyire tudod! Keress szabályszerűséget arra, hogy mely számok esetén van megoldás!” Tapasztalat szerint minden tanuló talál több megoldást is, sokkal többen veszik észre az általános szabályszerűséget is. A példa az indukció, azaz a konkrét esetek vizsgálatának fontosságára hívja fel a figyelmet. Miért az első formában való kitűzés dominál a magyar matematikaoktatásban, kérdeztem elitiskolai tanárokat. A válaszok: 100 év óta ez a hagyomány a magyar matematikaoktatásban. Természetesen megbeszéljük a tanulókkal, hogy kezdjék kis számokkal a felosztást. – Én továbbra is az első változatot favorizálom, úgy fogom továbbra is kitűzni az ilyen feladatokat! |
Jellemző tanári felfogás, hogy a feladatmegoldásról nem beszélni kell, hanem sok-sok feladatot kell oldatni a tanulókkal. Ennek illusztrálására elegendő utalni az évente megjelenő sok-sok matematikai feladatgyűjteményre.
Lehetne folytatni a példákat, de ennyi is elég annak bizonyítására, hogy sok bizonytalanság, téves nézet van a feladatmegoldás tanításával kapcsolatban.
A matematikatanítás célja a sokoldalú matematikakép kialakítása a tanulókban, melynek eredményeképpen a matematikára úgy tekintik, mint
Aktív ismeretelsajátítás, tanulói önállóság.
A tanulás és megértés egy komplex környezetben történik, melyben fontos szerepet játszanak valódi kontextusok (problémák, jelenségek), matematikai objektumok, külső és belső reprezentációk, egyéni gondolkodási struktúrák, ezekkel kapcsolatos képzetek. A belső reprezentációk kapcsolatban állnak egymással, összefüggő hálózatot alkotnak. A hatékony problémamegoldó folyamatban központi jelentőségük van a metakognitív ismereteknek, képességeknek (saját gondolkodásról való tudás).
Sokféle megoldás ösztönzése, a különböző megoldások összehasonlítása a feladatmegoldás tanításában.
Tartalmi indoklások előtérbe helyezése (főleg az alsóbb osztályokban), a problémamegoldó képesség fejlesztése.
Stabil fogalomképzetek kialakítása. A matematikai kapcsolatok, összefüggések fontossága.
„I am a teacher of 90%!” – kezdte az előadását egy nemzetközi konferencián az előadó. Engem is jobban érdekel a 90% , azaz az átlagos tanulók problémái a feladatmegoldás során.
A feladatmegoldás tanításának nem lehet kizárólagos célja a következő vizsgára való – érettségi, felvételi – felkészítés. A problémamegoldó képesség általános fejlesztése fontosabb cél, hiszen az a jövendő életre jobban kamatozik.
A probléma-megoldási stratégiákat, gondolkodási műveleteket is az oktatás tárgyává kell tenni, tudatosan tanítani kell őket. A legtöbb matematikus nem érdeklődik igazán a saját gondolkodási módjának elemzése iránt, nem írja le, hogyan dolgozik. Sajnos sok matematikatanár ezt az elvet követi tanításában. A legtehetségesebb tanulók néhány példa alapján rendre meglátják a lényeget, a struktúrát, a fő ötletet, megjegyzik és alkalmazni is tudják azokat a jövőben. A közepes és gyengébb tanulók számára elengedhetetlenül szükséges az alkalmazott heurisztikus stratégiák, gondolkodási műveletek explicit kiemelése, tudatosítása, elsajátítatása. Talizina szerint nem várható el hatékony feladatmegoldás a tanulóktól, ha annak eszközeivel nincsenek tisztában.
A legtöbb esetben a probléma-megoldási folyamat lényegesebb, mint a kapott eredmény. A probléma-megoldási folyamat struktúráját többször is fel kell vázoltatni a tanulókkal.
A matematikai elvekkel, fogalmakkal, koncepciókkal való gondolkodáshoz, illetve kommunikálásukhoz szükséges, hogy valamilyen módon reprezentáljuk a fogalmakat. Kétfajta reprezentációt különböztet meg a pszichológiai szakirodalom.
Külső reprezentációk
Belső (mentális) reprezentációk
Ahhoz, hogy agyunk operálni tudjon a fogalmakkal, szükségünk van ezek belső reprezentációjára. A külső reprezentációk megfigyelhetők, a belső reprezentációk közvetlenül nem figyelhetők meg. Ezek minőségére a külső reprezentációk alapján következtetünk.
A pszichológiai tudományban a következő feltevéseket teszik a reprezentációkkal kapcsolatban.
Megértés
Egy matematikai elvet, koncepciót, fogalmat akkor értünk meg, ha annak belső reprezentációja a reprezentációs hálózatunk részévé válik. A megértés fokát a kapcsolatok száma, erőssége, stabilitása jellemzi. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a megértés a matematikai fogalmak, elvek közötti kapcsolatok létrejöttét jelenti.
1. táblázat
A fentiekkel szoros kapcsolatban van az alábbi felosztás, amely jól kiegészíti azokat.
Szemantikus memória (mentális trezor): az egyén szavakkal és egyéb verbális szimbólumokkal kapcsolatos rendszerezett ismereteit jelenti, mely tartalmazza a szavak, szimbólumok jelentését, referenseit, a közöttük lévő relációkat, továbbá a szimbólumokra, fogalmakra, relációkra vonatkozó műveleti szabályokat, formulákat, algoritmusokat.
Epizodikus memória: az időben lejátszódó folyamatokat, eseményeket veszi föl és tárolja, továbbá ezen események közötti időbeli és térbeli relációkat tartalmazza.
Szoros kapcsolat van a szemantikus és az epizodikus memória között. Az általános jellegű ismeretek (szemantikus memória) a konkrét esetekből, példákból fejlődnek ki.
Vizuális memória
A képi reprezentációk memóriát befolyásoló jellemzői
E A képiség, vizualitás hatékonyan megjegyezhető.
A hatékony problémamegoldás alapvető feltételei a széles körű és elérhető, előhívható ismeretek. A jól szervezett ismeretek fontosabbak az ismeretek mennyiségénél. A tanulók közti különbség a hatékony problémamegoldás területén gyakran visszavezethető az ismeretek szervezettségére, rendszerezettségére. A kognitív pszichológia a séma fogalmát használja föl az ismeretek szervezettségének jellemzésére.
A sémák komplex és gyakran előforduló fogalmak, illetve jelenségek prototipikus absztrakciói (tipikus tulajdonságokat tartalmaznak), és többnyire a fogalomra vonatkozó számos példával kapcsolatos tapasztalatból származnak.
Wittmann szerint a séma az egyén önszerveződésébe integrált és az egyén aktivitását irányító magyarázó, műveleti, leíró, gondolati minta.
Példák matematikai sémákra: formális struktúrák, fogalmak, bizonyítási ötletek, módszerek, algoritmusok.
A sémák elősegítik a problémák reprezentációját, illetve a megoldáshoz szükséges ismeretek előhívását, aktivizálását a hosszú távú memóriából. A hatékony problémamegoldók sémákban gondolkodnak, az új feladathoz megfelelő sémát keresnek, míg a gyengébb tanulók a feladat felszínes adataira koncentrálnak, nem látva meg a lényeget.
Az emberi agy aszimmetriái című könyvében Hámori József részletesen elemzi a bal, illetve jobb agyfélteke jellemzőit. Tapasztalatai és a nemzetközi kutatási eredmények összegzése alapján arra a következtetésre jut, hogy az emberek 85 százalékánál az illető agyféltekére dominánsan jellemzőek a következő tulajdonságok.
A nyugati kultúrákban jellemző a verbális nyelv, az ésszerű, racionális, logikus gondolkodás és az elemzés túlhangsúlyozása. (A részletek nagy hangsúlyt kapnak.) Ezen funkciók főleg a bal agyféltekében lokalizáltak. A keleti gondolkodás intuitív, mediatív, mitikus, néha irracionális (nyugati értelemben). Ezen típusú gondolkodás főleg a jobb agyféltekében lokalizált. Érdemes megjegyezni, hogy Japánban igyekeznek ötvözni a kétfajta gondolkodási stílust a matematikai problémamegoldás tanítása során.
Paivió duális kódelmélete szerint minden individuum két egymástól elválasztott kódolórendszerrel rendelkezik (képi, illetve verbális). Minél konkrétabb a feldolgozandó információ, annál jobb lehetőségek vannak a kétféle kódolásra.
Ipke Wachsmuth kétfajta gondolkodási módról beszél: L-modus, illetve R-modus. Érdemes összevetni e két modust a Hámori-féle listával.
Összefoglalva: A bal félteke az irányított, rögzített információk kezelésében míg a jobb félteke az új információk, problémák megoldásában, kezelésében jár élen. A problémamegoldás során mind az intuitív (divergens) mind a logikus gondolkodás szükséges, egyedül egyik sem elegendő. Kizárólag logikus gondolkodással szinte lehetetlen olyan célt elérni, amelyről semmit sem tudunk. Persze a divergens gondolkodással kapott megoldásokat ellenőrizni kell, amit a bal félteke sokkal jobban el tud végezni.
A kognitív pszichológia egyik alapfeltevése, hogy az új ismereteket a tanulók nagymértékben maguk „konstruálják” meg. Nem egyszerűen hozzáadják az új információt meglevő ismereteik tárházához, hanem összekapcsolják azt a már meglévő ismeretstruktúráikkal és új relációkat (kapcsolatokat) képeznek a struktúrák között. Az új relációs kapcsolatok képezik a tanulás lényeges mozzanatait. Az előbbiek értelmében a matematikai ismereteket: az algoritmikus ismereteket (hogyan kell elvégezni a matematikai műveleteket, eljárásokat), továbbá a fogalmakkal és a közöttük lévő relációkkal kapcsolatos koncepcionális ismereteket legalább részben a tanulók maguk „fedezik fel”.
Pólya György az irányított felfedezés terminológiát használta, ezzel is kiemelve a tudatos, célirányosan választott, felépített feladatsorozatok fontosságát, melyek elvezetnek a kívánt fogalomhoz, összefüggéshez.
A projektben e tanulási modell alkalmazására is mutatunk be példákat. Tapasztalatok szerint főleg a közepes és gyengébb tanulók számára jelent nagy segítséget a fenti modell alkalmazása.
„A perceptív (észlelési) változatosság vagy többszörös konkretizálás elve. Célszerű a fogalmi struktúrákat lehetőleg sok ekvivalens, de az észlelés számára különböző formában bemutatni a gyerekeknek, hogy a fogalmak kialakításában minél jobban érvényesülhessenek az egyéni különbségek, és hogy a gyerekek egy-egy fogalom absztrakt matematikai tartalmát minél inkább megragadhassák.” (Dienes 1973) |
„...a gyerekek inkább konstruktívan gondolkodnak, mint analitikusan. A gyerek előbb az egészet látja, előbb konstruál és csak azután analizál. Rájöttem egy nagy ellentmondásra, arra, hogy az egész matematikatanítás az analízisre épül. A New Math alapelve, hogy a matematika egy nyelv, s ha ennek a nyelvnek a szerkezetét a gyerek megtanulja, akkor a jelentését is érteni fogja, s tudja alkalmazni is. Olyan ez, mintha a kocsi húzná a lovat, mert előbb jön az absztrakció, azután a konkrétum. A valóságban ez éppen fordítva van, a konkréttól megyünk az absztrakt felé. Az én szisztémám azon az elven alapszik, hogy a gyerek előbb konkrét tapasztalatainak alapján, valóságos játékok keretében, érzékletes tevékenykedés közben ismerje meg, fedezze fel a komplikált matematikai fogalmakat, struktúrákat. És nálam nemcsak arról van szó, hogy megtanuljuk a matematikát szűkebb értelemben, hanem egy teljesen újfajta lelki beállítódásról, arról is, hogy megtanuljunk a legjobb módon tanulni. Mégpedig a tapasztalatokra építve tanulni! Attól még nem tanulok meg biciklizni, ha ismerem a bicikli szerkezetét, de ha tudok biciklizni, könnyebben megtanulom a szerkezetét is.” (Győri 1973) |
„Absztrahálni csak konkrétumokból lehet, s ahhoz, hogy valaki jól tudjon absztrahálni, sokféle konkrétummal kell megismerkednie. A matematika nagyon absztrakt, éppen ez a fő erőssége, hiszen ez azt jelenti, hogy nagyon sokféle konkrét jelenség közös lényegét sűríti magában. Ehhez a nagyon absztrakthoz nagyon konkrét kiindulással tudjuk a legsikeresebben elvezetni a gyerekeket úgy, hogy elegendő számú és elég változatos konkrét tapasztalatban részesítjük őket. Kezdő fokon, kisgyerekeknél ez a nagyon konkrét az érzékszervi-mozgásos élményeket jelenti. A manuális (mozgásos, tapintási, akaratot is bekapcsoló) tevékenység ennek egyik fő tere.” (Varga) |
„Kísérletünk alapelve: dolgokkal való műveletekből jutni el a jelekkel való műveletekhez.”
Műveletek dolgokkal
↓
Műveletek jelekkel
Nyíl helyett cikcakkot is húzhattam volna annak jelzésére, hogy ide-oda közlekedünk a kettő között, vissza-visszamegyünk a dolgokkal végzett manuális tevékenységhez, valahányszor a jelekkel végzett tevékenység értelmessé tétele ezt kívánja.” (Klein 1980)
Shlomo Vinner izraeli matematikadidaktikus vezette be a fogalomképzet (concept image) elnevezést a nemzetközi matematikadidaktikai szakirodalomban. Fogalomképzetnek nevezzük a fogalom nevéhez kapcsolt teljes kognitív struktúrát, mely tartalmazza a vizuális reprezentációkat (képek, diagramok, grafikonok), mentális képeket (belső kapcsolatokat), konkrét tapasztalatokat, példákat, élményeket, tulajdonságokat, eljárásokat.
A felsorolásból kitűnik, hogy a képek, példák, konkrét tapasztalatok jelentős szerepet játszanak a hatékony fogalomképzet kialakításában. A valós világból választott bevezető és alkalmazási feladatoknak ezért is van fontos szerepük a matematikatanításban.
Metatudásnak nevezzük az egyén saját és mások ismereteire és kognitív (ismeretszerző) folyamataira és eredményeire vonatkozó tudását. A problémamegoldással kapcsolatban egy-egy komplex feladat esetén a személyi kompetencia (képes vagyok ilyen feladatot megoldani, elegendők az ismereteim, tapasztalataim), a probléma nehézségi fokának reális felmérése, menedzseriális döntések alapvető szerepet játszanak. Természetesen ezek az egyén kognitív eszköztárával szoros kapcsolatban vannak. A probléma-megoldási folyamatban a tervezés, monitorizálás (önmegfigyelés), szabályozás, értékelés jellegű kognitív tevékenységek a hatékonyság fontos tényezői.
A probléma-megoldási folyamat során föltéve a tanulóknak a következő kérdéseket elvárható, hogy a jövőben ők maguk is felteszik saját maguknak azokat. Most pontosan mit csinálsz? Miért csinálod? Véleményed szerint mennyiben visz előre a feladatmegoldásban, amit csinálsz?
A másik jól bevált módszer a reflexióra az ún. Problémamegoldó notesz alkalmazása. Ebben hetenként le kell írniuk a tanulóknak a következőket:
A matematikaórák többsége feladatok megoldásával telik el. Fontosnak tartjuk, hogy a tanárok tudatában legyenek a konkrét feladat kitűzésének céljával, azaz a feladat funkciójával.
A 4. és 5. pontokat azért szedtük dőlt betűvel, mert ezzel szeretnénk hangsúlyozni a fontosságukat. Egy tanuló akkor birtokol egy fogalmat, ha több matematikai objektum között, komplex kontextusban is felismeri azt, s indokolni is tudja, miért az adott fogalomról van szó. Ugyancsak fontos bizonyos fogalmakra példákat adni, konstruálni.
Fontosnak tartjuk, hogy a tanulóban kialakuljon a fogalmak gazdag képzete.
A fogalom definíciójának ismerete önmagában kevés, csak a fogalom gazdag képzetével együtt lesz a tanulónak alkalmazni képes tudása az adott fogalommal kapcsolatban.
Egyedi, konkrét eredmények gyűjtése, vizsgálata. Ezek általánosítása sejtés formában.
Megfelelő megfogalmazások keresése a kapott összefüggésekre. A különböző megfogalmazások egyenértékűségének eldöntése. A megfogalmazások logikai struktúrájának meghatározása.
A sejtés bizonyítása. Többfajta bizonyítás, a bizonyítások összehasonlítása.
A tétel alkalmazása.
A tétel megfordításának megfogalmazása, vizsgálata (esetleg bizonyítása).
Az új tétel következményeinek a levonása (érdekesebb speciális esetek).
A tétel általánosítási lehetőségeinek vizsgálata.
Az új tétel más tételekkel való kapcsolata (lokális logikai rendezés).
A tétel alkalmazása problémák megoldásában.
Egy konkrét feladat megoldása, a megoldáskor alkalmazott lépések kiemelése, tudatosítása.
Az eljárás, művelet általánosítása, az általános eljárás kidolgozása.
Az általános eljárás alkalmazása konkrét feladatok megoldásában.
Speciális esetek, az eljárási algoritmus (művelet) egyszerűsödése, annak vizsgálata, hogy ilyen esetekben van-e egyszerűbb megoldási mód.
Kész megoldások vizsgálata, hibák azonosítása.
Az eljárás (művelet) kapcsolata más eljárásokkal (műveletekkel).
Fordított művelet (eljárás) vizsgálata.
Az eljárás alkalmazása feladatok megoldásában.
Probléma-megoldási stratégiák: célirányos okoskodás, fordított irányú okoskodás.
Indukció • Konkrét esetek vizsgálata alapján általánosabb összefüggés megsejtése.
Általánosítás • Lásd az előbbi pontot. Tetszőleges sokszög átlóinak száma.
Analógia • Az egyes esetek vizsgálatánál annak észrevétele, hogy ugyanaz a tulajdonság (összefüggés) érvényes az újabb esetben is.
Speciális esetek vizsgálata.
Esetmegkülönböztetések.
Komplementer probléma vizsgálata.
| Kiindulási szituáció (adatok, feltételek) |
→ | Transzformációs lépések |
→ | Célszituáció (kérdés, bizonyítandó állítás) |
Ha mindhárom komponens világosan, egyértelműen meg van adva, zárt feladatról beszélünk.
|
Kiindulási szituáció |
Transzformációs lépések |
Célszituáció |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
– |
|
+ |
– |
+ |
|
– |
+ |
+ |
|
+ |
– |
– |
|
– |
+ |
– |
|
– |
– |
+ |
|
– |
– |
– |
Példa: A másodfokú egyenlet megoldóképletével oldjuk meg a következő egyenletet.
Ha valamelyik komponens nincs explicit meghatározva, nyitott feladatokról beszélünk. Az alábbiakban a feladatok lehetséges variánsait mutatjuk be. Az osztályozás nem teljes, átfedések lehetnek. Az egyes kategóriák a hiányzó komponens(ek) dominanciáját jelentik.
Példák
+ + + A fenti másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlettel
+ + – 
Sejtés! Sejtését bizonyítsa be teljes indukcióval!
+ – + Bizonyítsa be Pitagorasz tételét!
– + + Koszinusz-tétel kiterjesztése tompaszögű háromszögekre (a hegyesszögű esetet már bebizonyítottuk).
– – + Bizonyítsuk be, hogy irracionális!
– + – Adjon meg két feladatot a teljes indukció alkalmazására!
+ – – Vizsgáljuk négy tetszőleges szomszédos természetes szám szorzatát, a szorzathoz adjunk 1-et. Sejtés? Sejtését bizonyítsa be!
– – – Keressen összefüggéseket a Pascal-háromszögben!
A fordított feladatokat a fenti osztályozás alapján a nyitott feladatok közé sorolhatjuk, amikor a célszituáció ismert és a kezdeti szituációt kell meghatározni.
Néhány példa az oktatási gyakorlatból:
alapműveletek – fordított műveletek,
hatványozás – gyökvonás,
beszorzás (zárójel felbontása) - kiemelés (szorzattá alakítás),
logaritmizálás – hatványozás
egy szám osztóinak meghatározása – osztókból a szám meghatározása,
tétel – a tétel megfordítása,
célirányos megoldási stratégia – fordított irányú okoskodás,
kitűzött feladatok megoldása – feladatok konstruálása a tanulók által,
függvény – függvény inverze.
Krutetski a matematika elsajátítása egyik legfontosabb alapképességének tartja egy gondolatmenetről az ellentétes irányú gondolatmenetre való „átkapcsolást”.
Gyakori tanulói hiba a kétféle irány összekeverése, ezért sok tanár inkább az elkülönítést követi, azaz egy műveletet és annak fordított műveletét elkülönülten tanítja.
Az egymással fordított irányú tevékenységek, műveletek, feladatok, tételek, függvények időben egyszerre való kezelése révén tanítási időt takarítunk meg.
A kétirányú feladatok azonos időben való (párhuzamos) kezelése révén ugyanazon tanítási anyagot két különböző pozícióból tekintjük. Az elkülönített tanítás esetén a tanuló elsajátítja ugyan a kétféle irány különbözőségét, de nem szerez tapasztalatokat az egyik gondolkodási irányról a másikra való átmenetben, ami a gondolkodás fejlődésének egyik alapvető komponense. A későbbiek során a helyes irány kiválasztása a hatékony feladatmegoldás feltétele lesz.
A fordított irányú feladat az eredeti feladat ellenőrzéseként is fölfogható.
A matematika hatékony elsajátítása gazdag fogalomhálózatok kiépítését jelenti, melyeknél a fordított irányú kapcsolatok a horizontális komponensek részei. (A vertikális kapcsolatokat az általánosítások jelentik.)
Pavlov szerint a pszichikai tevékenységek ciklikus folyamatokon, körfolyamatokon nyugszanak, melyek zárt információfolyamatokat jelentenek. E struktúra jellemzője, hogy a körfolyamat tetszőleges eleméből kiindulva a ciklus összes eleméhez eljuthatunk.
A legújabb pszichológiai kutatások szerint is bizonyos gondolathálók olyan jól strukturáltak, hogy egy egységként működnek, melynek egy pontját aktivizálva a teljes gondolatháló működésbe hozható. A kétféle irány párhuzamos kezelése révén nagyobb esély van arra, hogy a tanuló ismeretei nem egymástól elszigetelten tárolódnak, hanem gazdag kapcsolathálók keletkeznek.
Jobban emlékezünk olyan információkra, melyek a nagyobb gondolatháló részei.
A matematikából tehetséges tanulók számára nem jelentenek gondot a fordított irányú feladatok, a fordított irányú okoskodások, a konkrét problémák, szituációk alapján intuitíve elsajátítják a különbségeket. Az átlagos és gyengébb tanulók számára explicit magyarázatok és gyakorlatok szükségesek.
A projekt során konkrét feladatokat mutatunk be minden típusra, illetve megoldási módokra, stratégiákra. Befejezésül példaként egy feladat különböző megoldási lehetőségeit írjuk le. Célunk a formális, illetve konkrét, szemléletes megoldás összehasonlítása, rövid didaktikai elemzése.
Ha az 1 számot hozzáadjuk négy egymást követő természetes szám szorzatához, akkor egy teljes négyzetet kapunk. Bizonyítsuk be! I. megoldás (Szlovákia) Legyen a > 2 természetes szán. Az a–2, a–1, a és a+1 négy olyan természetes szám, amelyek kielégítik a feladat feltételeit. Szorzatukat jelöljük N-nel. Bizonyítsuk be, hogy az N + 1 teljes négyzet. N + 1 = (a – 2)(a – 1) a (a + 1) + 1 = (a2 – a)[(a – 2) (a + 1)] + 1 = (a2 – a) [(a2 -a) – 2] + 1 = (a2 – a)2 – 2 (a2 – a) + 1 = (a2 – a – 1)2 a > 2 esetén a2 – a – 1 = a (a – 1) – 1 > 1 ezért a2 – a – 1 természetes szám
II. megoldás (Dezső Gábor, Kolozsvári Babes Bolyai Egyetem ) Jelöljük a középső számot x-szel. x = a + 0,5 ahol a pozitív egész szám A négy szomszédos szám: x – 1,5 x – 0,5 x + 0,5 x + 1,5 (x – 1,5)(x – 0,5)(x + 0,5)(x + 1,5) + 1 = (x – 0,5)(x +0,5)(x – 1,5)(x + 1,5) + 1 = (x2 – 2,25)(x2 – 0,25) + 1 = x4 – 2,5 x2 + 9/16 + 1 = x4 – 2,5 x2 + 25/16 = ( x2 – 5/4)2 X2 – 5/4 = (a + 0,5)2 – 5/4 = a2 – a + 0,25 – 1,25 = a2 – a – 1 egész szám a ł 2 a = 1 -re 0-t kapunk, ami négyzetszám
III. megoldás Problémafölvetés: Válasszon ki négy szomszédos természetes számot, a szorzatukhoz adjon 1-et. Vizsgálja az így kapott számokat. Fogalmazzon meg egy sejtést! Sejtését bizonyítsa be! Konkrét esetek vizsgálata 0 × 1 × 2 × 3 + 1 = 1 = 12 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25 = 52 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 121 = 112 3 × 4 × 5 × 6 +1 = 361 = 192 4 × 5 × 6 × 7 + 1 = 841 = 292 Sejtés n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = k2 ahol k természetes szám Beszorzás után kapjuk n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 Mely kifejezés négyzete ezen összeg? Átlagos képességű tanulók számára nehéz probléma. A háromtagú összeg négyzetére vonatkozó formula nem tanítási anyag. A konkrét számokkal való próbálkozás után többféle megoldást is kaptak a tanulóim. Az első és utolsó tényező szorzata plusz 1 azaz n (n + 3) + 1 = n2 + 3n + 1 vagy a két középső tényező szorzata – 1 (n + 1)(n + 2) – 1 = n2 + 3n + 1 E kifejezést négyzetre emelve kapjuk az eredeti kifejezésünket. |
E feladattal kapcsolatos tapasztalataim nagyon tanulságosak. Magyar és német középiskolás diákok számára is szokatlan volt a konkrét esetek vizsgálata, a sejtés önálló megkeresése. Nagy sikere volt annak a fázisnak, amikor azt a számot keresték a konkrét példák alapján, amelynek négyzete a kapott szorzatösszegnél 1-gyel nagyobb szám. Minden tanuló dolgozott, tudott valamit csinálni és nem volt degradálva a szimpla másolásra ("csökkentett üzemmódban” való munkára)
Az egyetemi hallgatók körében hasonló tapasztalataim vannak.
Ambrus András: Bevezetés a matematiakdidaktikába. Budapest, 1995, Eötvös Kiadó.
Dienes Zoltán: Építsük fel a matematikát. Budapest, 1973, Gondolat Kiadó.
Dienes Zoltán: Ellopni a tüzet a matematika isteneitől. In Ember és műveltség. Budapest, 1976, Gondolat.
Elschenbroich H. J.: Visuelles Lehren und Lernen. In Beiträge zum Mathematikunterricht. 2001, Franzbecker Verlag.
Hámori József: Az emberi agy aszimmetriái. Budapest-Pécs, Dialog Campus.
Klein Sándor: A komplex matematikatanítási módszer pszichológiai hatásvizsgálata. Budapest, 1980, Akadémiai Kiadó.
Oláh György (szerk): Határon túli matematikaversenyek. Budapest, 1999, Typotex Kiadó.
Paivio, A.–Begg, I.: Psychology of language. New Jersey, 1981, Prentice Hall.
Pólya György: A gondolkodás iskolája. 1977.
Seel. N. M.: Psychologie des Lernens. München-Basel, 2000, Ernst Reinhardt Verlag.
Tall. D. (eds): Advanced Mathermatical Thinking. Dodrecht, 1994, Kluwer Academic Publishers.
Wachsmuth, I.: Two modes of thinking- also relevant for the learning of mathematics. In For the learning of mathematics 2. (2), 1981.
Wessels. M. G.: Kognitive Psychologie. München-Basel, 1994, Ernst Reinhardt Verlag.